电容器电流分析
一般高中物理很少涉及分析电容器的充电电流或放电电流。
我们知道，电容器的电容值 \(C\)，电荷量 \(q\) 和电容器两端的电压 \(u\) 满足 \(q=Cu\)，所以当电容器两端电压变化时，会有电流流过电容器，计算公式为
\[i=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}=C \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} \]
我们以这样的一个电路为例分析电容器充电电流的特点：
电动势为 \(E\)，内阻不计的电源与电容值为 \(C\) 的电容器和阻值为 \(R\) 的定值电阻串联，开关闭合后，回路中的电流如何变化？
电容器两端电压 \(u\) 满足 \(u=E-iR=E-RC \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}\)
移项：\(RC\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}=E-u\)
分离变量：\(\frac{1}{E-u} \mathrm{d}u = \frac{1}{RC}\mathrm{d}t\)
积分：\(-\ln(E-u)+\ln E=\frac{t}{RC}\)
整理得
\[u=E\left(1-e^{-t/RC}\right) \]
其中的 \(RC\) 被称为电容器的充电时间常数，记作 \(\tau\)，可以用来衡量电容器充电所需时间。时间达到 \(5\tau\) 时，\(u \approx 0.993262E\)，通常可以认为此后电容器就充满了。若电路中的电阻 \(R\) 小到可以忽略不计，那么就认为电容器瞬间完成了充电。
下面这幅图体现了 \(u\) 和 \(i\) 随时间的变化。
有外力无电阻
足够长的光滑平行金属导轨水平放置，间距为 \(L\)，左边接入电容为 \(C\) 的电容器，整个装置处于垂直导轨平面向下的匀强磁场中，磁感应强度为 \(B\)。一个质量为 \(m\) 的导体棒与导轨垂直放置且接触良好，在大小为 \(F\) 的平行于导轨的恒力的作用下运动。不计一切电阻，初始状态下电容器的电量和金属杆的速度均为零。试分析金属棒的运动情况。
由于电阻不计，可以认为电容器充电是瞬间完成的，那么电容器两端的电压恒等于金属杆的感应电动势，即
\[u=BLv \]
根据电容器的电流特点，有
\[i=C \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}=BLC \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=BLCa \]
对金属棒，根据牛顿第二定律
\[F-BiL=ma \]
所以
\[F-B^2L^2Ca=ma \]
\[a=\frac{F}{m+B^2L^2C} \]
加速度 \(a\) 为定值，所以金属棒做匀加速运动。
拓展：电阻不可忽略
此内容已超出高考范围。
此时电容器两端的电压不等于金属杆的感应电动势，金属棒不再做匀加速运动。下面计算推导其运动状态。
设金属杆的电阻为 \(R\)，导轨无电阻，根据基尔霍夫定律有 \(u+Ri=BLv\)，代入 \(u=\frac 1 C q\) 得
\[\frac1Cq+Ri=BLv \tag{1} \]
根据牛顿第二定律
\[m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=F-BLi \]
所以 \((1)\) 式对时间求导得
\[\frac1Ci+R\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}=BL\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{BLF}{m}-\frac{B^2L^2}{m}i \]
整理得
\[\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}+\frac{m+B^2L^2C}{mRC}i=\frac{BLF}{mR} \]
记 \(k=\dfrac{m+B^2L^2C}{m}\)，\(\tau=RC\)，则上式可化为
\[\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}+\frac{k}{\tau}i=\frac{BLF}{mR} \]
结合初始条件 \(t=0, i=0\)，得
\[i=I_f(1-e^{-kt/\tau}) \]
其中 \(I_f=\frac{CBLF}{mk}\)
从而
\[\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac F m-\frac{BL}{m}i=\frac{F}{mk}+\frac{BLI_f}{m}e^{-kt/\tau} \]
积分，结合 \(t=0, v=0\) 得
\[v=\frac{F}{mk}t-\frac{\tau BLI_f}{mk}e^{-kt/\tau} \]
有初速度有电阻
废话不说，直接上方程
对金属杆，牛顿第二定律
\[-BiL=m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} \]
积分，结合 \(t=0,v=v_0\) 得
\[-BLq=m(v-v_0) \]
将 \(q=Cu\) 代入，得
\[BLCu=m(v_0-v) \]
把 \(i=-\dfrac{m}{BL} \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\)，\(u=\dfrac{m(v_0-v)}{BLC}\) 代入
\[u+Ri=BLv \]
得
\[\frac{m(v_0-v)}{BLC}-\frac{mR}{BL} \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=BLv \]
\[\frac{mR}{BL}\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}+\left(BL+ \frac{m}{BLC}\right)v=\frac{mv_0}{BLC} \]
\[\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}+\left(\frac{B^2L^2C+m}{mRC}\right)v=\frac{v_0}{RC} \]
记 \(k=\dfrac{m}{B^2L^2C+m}\)，\(\tau=RC\)，则
\[\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} + \frac{1}{k\tau}v=\frac{v_0}{\tau} \]
结合初始条件 \(t=0, v=v_0\)，得
\[v=v_0\left(k-(1-k)e^{-t/k\tau}\right) \]
最终趋于速率为 \(v_0k = \dfrac{mv_0}{m+B^2L^2C}\) 的匀速运动。
没有电阻？
此内容超出高考范围。
考虑能量，初态为滑杆动能 \(E_0=\frac 12mv_0^2\)，末态为滑杆动能和电容器电场能 \(E_f=\frac 12mv_f^2+\frac12Cu_f^2=kE_0
实际上，除了元件之外，任何电路都还有额外的电阻、电容、电感，一般电阻的效应最显著，所以我们只考虑电阻。如果是无电阻的超导电路，那么电感就不可忽略，即为 LC 震荡电路，在不考虑电磁波的情况下滑杆将做简谐振动。
简言之，无外力有初速度模型一定有电阻，没有电阻会出 bug。
