柯西不等式
柯西不等式是由大数学家奥古斯丁·路易·柯西（Augustin Louis Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等式应称作 Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式（柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式），因为后两位数学家彼此独立地把该不等式在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。
二维形式
\[\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right) \geq(a c+b d)^2 \]
等号成立当且仅当 \(a d=b c\) （即 \(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\) 或 \(c=d=0\)）时。
证明
向量法
设 \(\vec{m}=(a,b), \vec{n}=(c,d)\)，两向量夹角为 \(\theta\)。
则 \(|\vec{m}||\vec{n}|\cos \theta = \vec{m}\cdot\vec{n}\)
所以 \(|\vec{m}|^2|\vec{n}|^2\cos^2 \theta = (\vec{m}\cdot\vec{n})^2\)
又因为 \(0 \le \cos^2\theta \le 1\)
所以 \(|\vec{m}|^2|\vec{n}|^2 \ge (\vec{m}\cdot\vec{n})^2\)
即 \(\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right) \geq(a c+b d)^2\)
构造法
\[\begin{aligned} &\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right) \\ = & a^2c^2 + b^2d^2 + a^2d^2+b^2c^2 \\ = & (ac+bd)^2+(ad-bc)^2 \\ \geq & (a c+b d)^2 \quad (a, b, c, d \in \mathbb{R}) \end{aligned} \]
等号当且仅当 \(ad-bc=0\) 即 \(ad=bc\)。
一般形式
\[\left(\sum_{i=1}^{n} a_{i}{ }^2\right) \left(\sum_{i=1}^{n} b_{i}{ }^2\right) \geq\left(\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}\right)^2 \]
等号成立当且仅当 \(\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\cdots=\frac{a_{n}}{b_{n}}\) 或 \(a_{i}, b_{i}\)（\(i=1,2,3, \cdots, n\)）中有至少一方全为零。
证明
不等式可以表示成
\((x_1^2+x_2^2+\cdots +x_{n}^2)(y_1^2+y_2^2+\cdots +y_{n}^2)\geq (x_1y_1+x_2y_2+\cdots +x_{n}y_{n})^2\)
当 \(x_i\)（\(i=1,2,3, \cdots, n\)）或 \(y_i\)（\(i=1,2,3, \cdots, n\)）全部为零时，上式显然取到等号。下面考虑 \(x_i, y_i\)（\(i=1,2,3, \cdots, n\)）均不为零的情况。
考虑一个关于 \(t\) 的一个一元二次方程 \((x_1t+y_1)^2+\cdots +(x_{n}t+y_{n})^2=0\)
很明显的，此方程无实数解或有重根，故其判别式 \(\Delta \leq 0\)
注意到 \((x_1 t + y_1)^2 + \cdots + (x_n t + y_n)^2 \geq 0\)
所以 \((x_1^2 +x_2^2 + \cdots + x_n^2) t^2 + 2 (x_1 y_1 + x_2 y_2 + \cdots + x_n y_n) t + (y_1^2 +y_2^2 + \cdots + y_n^2) \geq 0\)
则 \(\Delta = 4 (x_1 y_1 + x_2 y_2 + \cdots + x_n y_n)^2 - 4 (x_1^2 +x_2^2 + \cdots + x_n^2) (y_1^2 +y_2^2 + \cdots + y_n^2) \leq 0\)
即 \((x_1^2 +x_2^2 + \cdots + x_n^2)(y_1^2 +y_2^2 + \cdots + y_n^2) \ge (x_1 y_1 + x_2 y_2 + \cdots + x_n y_n)^2\)
而等号成立于判别式 \(\Delta=0\) 时
也就是此时方程有重根，故 \(\frac {x_1}{y_1} = \frac {x_2}{y_2} = \cdots = \frac {x_n}{y_n}\)
应用
平方与一次转换
例 已知正数 \(a,b\) 满足 \(a+2b=3\)，求 \(4a^2+5b^2\) 的最小值。
解 运用柯西不等式 \(\left[\left(2a\right)^2+\left(\sqrt5 b\right)^2\right]\left[\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2\right] \ge \left(a+2b\right)^2\)
即 \((4a^2+5b^2)(\frac{1}{4}+\frac{4}{5})\ge 3^2=9\)
所以 \(4a^2+5b^2\ge \frac{60}{7}\)，最小值为 \(\frac{60}{7}\)
例 已知正数 \(a,b\) 满足 \(a^2+2b^2=4\)，求 \(a+3b\) 的最大值。
解 运用柯西不等式 \(\left[a^2+\left(\sqrt2 b\right)^2\right]\left[1^2+\left(\frac{3}{\sqrt{2}}\right)^2\right] \ge \left(a+3b\right)^2\)
即 \(4\times(1+\frac{9}{2})\ge (a+3b)^2\)
所以 \(a+3b \le \sqrt{22}\)，最大值为 \(\sqrt{22}\)
一次与分式转换
例 已知正数 \(a,b\) 满足 \(a+2b=3\)，求 \(\frac{4}{a}+\frac{5}{b}\) 的最小值。
解 运用柯西不等式 \(\left[\left(\sqrt{a}\right)^2+\left(\sqrt{2b}\right)^2\right]\left[\left(\frac{2}{\sqrt{a}}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{b}}\right)^2\right] \ge \left(2+\sqrt{10}\right)^2\)
即 \(3\left(\frac{4}{a}+\frac{5}{b}\right)\ge 14+4\sqrt{10}\)
所以 \(\frac{4}{a}+\frac{5}{b} \ge \frac{14+4\sqrt{10}}{3}\)，最小值为 \(\frac{14+4\sqrt{10}}{3}\)
例 已知正数 \(a,b\) 满足 \(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=3\)，求 \(3a+b\) 的最小值。
解 运用柯西不等式 \(\left[\left(\sqrt{3a}\right)^2+\left(\sqrt{b}\right)^2\right]\left[\left(\frac{1}{\sqrt{a}}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{b}}\right)^2\right] \ge \left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^2\)
即 \(\left(3a+b\right)\times 3 \ge 5+2\sqrt{6}\)
所以 \(3a+b \ge \frac{5+2\sqrt{6}}{3}\)，最小值为 \(\frac{5+2\sqrt{6}}{3}\)
平方和为定值
例 （2017 年全国Ⅰ卷）10．已知 \(F\) 为抛物线 \(C:y^2=4x\) 的焦点，过作两条互相垂直的直线 \(l_1\)，\(l_2\)，直线 \(l_1\) 与 \(C\) 交于 \(A\)、\(B\) 两点，直线 \(l_2\) 与 \(C\) 交于 \(D\)、\(E\) 两点，则 \(|AB|+|DE|\) 的最小值为（ ） A.16 B.14 C. 12 D.10
解 \(p=2\)，设直线 \(AB\) 的倾斜角为 \(\alpha\)，则直线 \(DE\) 的倾斜角为 \(\alpha+\frac{\pi}{2}\)
使用结论：\(|AB|=\frac{2p}{\sin^2\alpha}=\frac{4}{\sin^2\alpha}\)，同理 \(|DE|=\frac{4}{\sin^2(\alpha+\frac{\pi}{2})}=\frac{4}{\cos^2\alpha}\)
结论推导见 圆锥曲线与极坐标
所以 \(|AB|+|DE|=\frac{4}{\sin^2\alpha}+\frac{4}{\cos^2\alpha}=\left(\frac{4}{\sin^2\alpha}+\frac{4}{\cos^2\alpha}\right)\times 1=\left(\frac{4}{\sin^2\alpha}+\frac{4}{\cos^2\alpha}\right)\left(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha\right)\geq(\frac{2}{\sin \alpha}\sin \alpha +\frac{2}{\cos\alpha}\cos \alpha)^2=(2+2)^2=16\) （柯西不等式）
和为定值
例 函数 \(y=\frac{1}{\cos x}+\frac{9}{2-\cos x}\ (0
解 令 \(t=\cos x\ (0
运用柯西不等式 \(\left(\frac{1}{t}+\frac{9}{2-t}\right)(t+2-t)\ge (1+3)^2\)
即 \(y\times 2\ge 16\)，\(y\ge 8\)，当且仅当 \(\frac{2-t}{t}=\frac{9t}{2-t}\)，即 \(t=\frac{1}{2}\)，\(x=\frac{\pi}{3}\) 时取等号。
所以函数在 \(x=\frac{\pi}{3}\) 处取得最小值 \(8\)
